運動量保存の法則

1. 運動量保存の法則

<運動量の原理>

力の空間的効果である仕事と運動エネルギーの関係、\( W_{外力} = \Delta K \) がエネルギーの原理であった。ここでは、力のもう一つの効果である時間的効果を表す力積と運動量の関係を導く。

質量 \( m \) の物体に一定の力 \( \overrightarrow{F} \) を時間 \( \Delta t \) の間加え続けたら、速度が \( \overrightarrow{v_0} \) から \( \overrightarrow{v} \) に変化したとする。
このとき加速度は、

$$ \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{v} – \overrightarrow{v_0} }{\Delta t} $$

であり、これを運動方程式 \( m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F} \) に代入すると、

$$ m \frac{\overrightarrow{v} – \overrightarrow{v_0} }{ \Delta t} = \overrightarrow{F} $$

両辺入れかえて

$$ \overrightarrow{F} = m \frac{\overrightarrow{v} – \overrightarrow{v_0} }{ \Delta t} $$

両辺 \( \Delta t \) 倍して

$$ \overrightarrow{F} \Delta t = m \overrightarrow{v} – m \overrightarrow{v_0} $$

となる。この式は、

 (外力が物体に与えた力積)=(物体の運動量の変化量)

ということを意味しており、これを運動量の原理という。エネルギーの原理と合わせてしっかり覚えてほしい。

<運動量保存の法則>

質量 \( m_1 \) の物体 \( A \) と質量 \( m_2 \) の物体 \( B \) が一直線上で衝突したとする。衝突している間の時間を \( \Delta t \) 、衝突前の物体 \( A \) , \( B \) の速度をそれぞれ \( \overrightarrow{v_1} \) 、\( \overrightarrow{v_2} \) 、衝突後の速度をそれぞれ \( \overrightarrow{v’_1} \) 、\( \overrightarrow{v’_2} \) とする。衝突中に \( A \) が \( B \) に及ぼす力を \( \overrightarrow{F} \) とすると、作用反作用の法則により \( B \) が \( A \) に及ぼす力は \( – \overrightarrow{F} \) であるから、運動量の原理より、

$$ A \: : \: m_1 \overrightarrow{v’_1} – m_1 \overrightarrow{v_1} = \; – \overrightarrow{F} \Delta t \cdots (1) $$

$$ B \: : \: m_2 \overrightarrow{v’_2} – m_2 \overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{F} \Delta t \cdots (2) $$

(1)と(2)の辺々加えると

$$ \left( m_1 \overrightarrow{v’_1} – m_1 \overrightarrow{v_1} \right) + \left( m_2 \overrightarrow{v’_2} – m_2 \overrightarrow{v_2} \right) = 0$$

$$ m_1 \overrightarrow{v’_1} + m_2 \overrightarrow{v’_2} = m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} \cdots (3) $$

が得られる。
\( A \)、\( B \) に作用反作用以外の外力 \( \overrightarrow{f_1} \)、\( \overrightarrow{f_2} \) が働くと、(1)と(2)は

$$ A \: : \: m_1 \overrightarrow{v’_1} – m_1 \overrightarrow{v_1} = \; – \overrightarrow{F} \Delta t + \overrightarrow{f_1} \Delta t \cdots (1′) $$

$$ B \: : \: m_2 \overrightarrow{v’_2} – m_2 \overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{F} \Delta t + \overrightarrow{f_2} \Delta t \cdots (2′) $$

となる。(1′)と(2′) の辺々加えても右辺に \( \overrightarrow{f_1} \Delta t + \overrightarrow{f_2} \Delta t \) が残ってしまい(3)のような保存則は導けない。
よって運動量保存の法則が成立する条件は、

 系に外力が働かない。あるいは、系に働くのは内力のみ。

ということになる。

<はね返り係数>

一直線上を右向きに速度 \( \overrightarrow{v_A} \) で運動している物体 \( A \) に、後方から速度 \( \overrightarrow{v_B} \) で物体 \( B \) が衝突した。衝突後の物体 \( A \)、\( B \) の速度をそれぞれ \( \overrightarrow{v’_A} \)、\( \overrightarrow{v’_B} \) とする。右向きを正とすると物体 \( A \) から見た物体 \( B \) の相対速度は、衝突前は \( \overrightarrow{v_B} – \overrightarrow{v_A} \)、衝突後は \( \overrightarrow{v’_B} – \overrightarrow{v’_A} \) である。この衝突前後の相対速度の比を

$$ e = \; – \frac{ \overrightarrow{v’_B} – \overrightarrow{v’_A} }{ \overrightarrow{v_A} – \overrightarrow{v_B} } = \; – \frac{衝突後の相対速度}{衝突前の相対速度} $$

と表すとき、\( e \) をはね返り係数という。\( e = 1 \) であるような衝突を完全弾性衝突、\( e = 0 \) であるような衝突を完全非弾性衝突という。\( e \) の値は \( 0 \leq e \leq 1 \) の範囲にある。\( e = 1 \) のときのみ力学的エネルギーが保存する。