前回の解答

「\( x \) の不等式 \( ax > b \) を解け。」

( i ) \( a > 0 \) のとき
  両辺を \( a \) で割ると
   \( x > \displaystyle\frac{b}{a} \)

( ii ) \( a < 0 \) のとき
  両辺を \( a \) で割ると、\( a \) が負の数であることから、不等号の向きが逆転して
   \( x < \displaystyle\frac{b}{a} \)

( iii ) \( a = 0 \) のとき
  不等式は \( 0 \cdot x > b \) となる。
  (ア) \( b < 0 \) のとき
    上式を満たす \( x \) は任意の実数。
  (イ) \( b \geq 0 \) のとき
    上式を満たす \( x \) は存在しない。

 Ans. \( \left\{
\begin{eqnarray}
a &>& 0 \, \verb|の場合| \quad x > \frac{b}{a} \\
a &<& 0 \, \verb|の場合| \quad x < \frac{b}{a} \\
a &=& 0 \, \verb|かつ| \, b < 0 \, \verb|の場合| \quad 任意の実数 \\
a &=& 0 \, \verb|かつ| \, b \geq 0 \, \verb|の場合| \quad 存在しない
\end{eqnarray}
\right. \)

チャート式の名言 \( \sqrt{(\verb|こわい| )^2} \)

文字定数の怖さを少し理解していただけただろうか。

さて、今回は次の計算問題から見てみよう。

$$ \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3 ,$$

$$ \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = 5 $$

特に問題はなさそうだ。

ではこれをまとめて

$$ \sqrt{a^2} = a \cdots (1) $$

となる….

いや、ちがう!!

私が学生時代に愛用していた青チャートには

$$ \sqrt{ ( \verb|こわい| )^2 } $$

と書いてあった。

これのどこが怖いのか?

私にはテスト後の生徒の言葉

「ばっちりできました!」

の方がずっと怖い…

それはさておき、もし(1)式を認めてしまうと次のようなことが起こる。

$$ \begin{eqnarray}
\sqrt{a^2} &=& a \\
\sqrt{(-3)^2} &=& -3
\end{eqnarray} $$

これは正しい? いや正しくない。

$$ \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3 $$

これが正しい。

\( \sqrt{3^2} \) も \( \sqrt{(-3)^2} \) も結果は 3 になるということ。

では、(1)式をどのように修正すればよいのだろうか。

先ほど見たように(1)式のままでは \( a = -3 \) のとき

$$ \begin{eqnarray}
\sqrt{a^2} &=& a \\
\sqrt{(-3)^2} &=& -3
\end{eqnarray} $$

となってしまう。

そこで次のようにしてみる。

$$ \sqrt{a^2} = -a$$

$$ \sqrt{(-3)^2} = -(-3) = 3 $$

2乗とルートをマイナスをつけて外すのだ。

\( -a \) は負に見えるが、\( a \) の中の負と外の負で合わせて正になる。

この考えを用いて(1)式を訂正する。

\( a \) の中に正の数が入っていればそのまま外し、

負の数が入っていればマイナスをつけて外す。

また 0 が入っていてもそのまま外せるので、

まとめると

$$ \sqrt{a^2} = \left\{
\begin{eqnarray}
& a & ( a \geq 0 ) \\
& -a & ( a < 0 )
\end{eqnarray}
\right. $$

これが正しい。

さらに右辺を見て、

$$ | \, a \, | = \left\{
\begin{eqnarray}
& a & ( a \geq 0 ) \\
& -a & ( a < 0 )
\end{eqnarray}
\right. $$

を思い出すことができれば、

$$ \sqrt{a^2} = | \, a \, | $$

とシンプルに表現できる。

使用上の注意をよく読み正しくお使いください。

定理、法則、公式などを思い込みと雰囲気で使ってはならない。

使う場面、使い方を正しく覚えて使わなければならない。

道具は正しく使ってこそ役立つのだ。